Question

19．已知函數(shù)f（x）=Asin（wx+φ）+B（A＞0，w＞），|φ|＜$\frac{π}{2}$） 的部分圖象如圖所示：
（1）求f（x）的解析式和對(duì)稱中心坐標(biāo)；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，最后將圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在x∈[0，$\frac{7π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由圖象可求A，B，T，利用周期公式可得ω，由圖象及五點(diǎn)法作圖可求φ，即可得解f（x）的函數(shù)解析式，令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得f（x）的對(duì)稱中心的坐標(biāo)．
（2）由已知的圖象變換過程可得g（x）=2sin（x+$\frac{2π}{3}$），結(jié)合x的范圍，可求x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由圖象可知$\left\{\begin{array}{l}{A+B=1}\\{-A+B=-3}\end{array}\right.$，可得：A=2，B=-1，…（2分）
又由于$\frac{T}{2}$=$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}$，可得：T=π，
所以$ω=\frac{2π}{T}$=2，…（3分）
由圖象及五點(diǎn)法作圖可知：2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，
所以φ=$\frac{π}{3}$，
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．…（4分）
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
所以f（x）的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，-1），k∈Z．…（6分）
（2）由已知的圖象變換過程可得：g（x）=2sin（x+$\frac{2π}{3}$），…（8分）
因?yàn)閤∈[0，$\frac{7π}{6}$]，所以x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{6}$]，…（10分）
所以當(dāng)x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，得x=$\frac{5π}{6}$時(shí)，g（x）取得最小值g（$\frac{5π}{6}$）=-2，…（11分）
當(dāng)x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，即x=0時(shí)，g（x）取得最大值g（0）=$\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)平移變換的規(guī)律，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．