Question

4．已知x＞1，y＞1，且$\frac{1}{4}$lnx，$\frac{1}{4}$，lny成等比數(shù)列，則xy（　�。�

• A． 有最大值e
• B． 有最大值 $\sqrt{e}$
• C． 有最小值e
• D． 有最小值 $\sqrt{e}$

Answer 1

分析 x＞1，y＞1，且$\frac{1}{4}$lnx，$\frac{1}{4}$，lny成等比數(shù)列，可得$（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{1}{4}$lnx•lny，化為：lnx•lny=$\frac{1}{4}$，再利用基本不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x＞1，y＞1，且$\frac{1}{4}$lnx，$\frac{1}{4}$，lny成等比數(shù)列，
∴$（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{1}{4}$lnx•lny，
化為：lnx•lny=$\frac{1}{4}$，
∴l(xiāng)n（xy）=lnx+lny≥2$\sqrt{lnx•lny}$=2×$\sqrt{\frac{1}{4}}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\sqrt{e}$時(shí)取等號(hào)．
∴xy≥e．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．