Question

17．已知函數(shù)f（x），g（x）滿足關系$g（x）=f（x）•f（{x+\frac{π}{2}}）$，
（1）設f（x）=cosx+sinx，求g（x）的解析式；
（2）當f（x）=|sinx|+cosx時，存在x₁，x₂∈R，對任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，求|x₁-x₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據$g（x）=f（x）•f（{x+\frac{π}{2}}）$，當f（x）=cosx+sinx，帶入化簡可得g（x）的解析式；
（2）根據$g（x）=f（x）•f（{x+\frac{π}{2}}）$，當f（x）=cosx+|sinx|，帶入化簡可得g（x）的解析式；存在x₁，x₂∈R，對任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，根據象限去掉絕對值，討論g（x）的最大值和最小值可得|x₁-x₂|的最小值．

解答 解：由$g（x）=f（x）•f（{x+\frac{π}{2}}）$，
（1）當f（x）=cosx+sinx，
可得g（x）=（cosx+sinx）[cos（x+$\frac{π}{2}$）+sin（x+$\frac{π}{2}$）]
=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x．
∴g（x）的解析式為g（x）=cos2x．
（2）f（x）=|sinx|+cosx時，可得g（x）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）=$\left\{\begin{array}{l}{cos2x，2kπ＜x≤\frac{π}{2}+2kπ}\\{-sin2x-1，\frac{π}{2}+2kπ＜x≤π+2kπ}\\{-cos2x，π+2kπ＜x≤\frac{3π}{2}+2kπ}\\{1-sin2x，\frac{3π}{2}+2kπ＜x≤2π+2kπ}\end{array}\right.$，k∈Z．
∵存在x₁，x₂∈R，對任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，
當x₁=2kπ+π或2k$π+\frac{π}{2}$時，可得-1≤g（x）．
當x₂=2kπ+$\frac{7π}{4}$時，可得g（x）≤2．
那么：|x₁-x₂|=|2kπ+π-（2kπ+$\frac{7π}{4}$）|=$\frac{3π}{4}$
或者：x₁-x₂|=|2kπ+$\frac{π}{2}$-（2kπ+$\frac{7π}{4}$）|=$\frac{5π}{4}$
∴|x₁-x₂|的最小值為$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的性質以及分段函數(shù)最值的討論問題．屬于中檔題．