Question

15．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左頂點(diǎn)為C，上頂點(diǎn)為D，且|CD|=$\sqrt{5}$
（1）求橢圓Γ的方程
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為k的直線過P的右焦點(diǎn)，且與Γ交于點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{^{2}}$=0，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左頂點(diǎn)為C，上頂點(diǎn)為D，且|CD|=$\sqrt{5}$，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，求出a，求出b，即可求橢圓方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），代入橢圓方程，消去y并整理，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{^{2}}$=0，求出k，進(jìn)而求出|AB|，原點(diǎn)O到直線AB的距離，即可求△AOB的面積．

解答 解：（1）依題意，∵橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
左頂點(diǎn)為C，上頂點(diǎn)為D，且|CD|=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²+b²=5，a²-b²=c²，解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$． …（5分）
（2）∵直線AB過右焦點(diǎn)（$\sqrt{3}$，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$）．
代入橢圓方程，消去y并整理得（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0． （*）
故x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=k（x₁-$\sqrt{3}$）•k₂（x-$\sqrt{3}$）=$\frac{-{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
又$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{^{2}}$=0，即$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+y₁y₂=0．
∴$\frac{3{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{-{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，可得k²=$\frac{1}{2}$，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
方程（*）可化為3x²-4$\sqrt{3}$x+2=0，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{3}{2}}$•$\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}-4×\frac{2}{3}}$=2．
∵原點(diǎn)O到直線AB的距離d=$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=1． …（13分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓方程求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，確定直線AB的斜率是關(guān)鍵．