Question

7．某地區(qū)以“綠色出行”為宗旨開展“共享單車”業(yè)務(wù)．該地區(qū)某高級中學(xué)一興趣小組由20名高二級學(xué)生和15名高一級學(xué)生組成，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取7人，組成一個體驗小組去市場體驗“共享單車”的使用．問：
（Ⅰ）應(yīng)從該興趣小組中抽取高一級和高二級的學(xué)生各多少人；
（Ⅱ）已知該地區(qū)有X，Y兩種型號的“共享單車”，在市場體驗中，該體驗小組的高二級學(xué)生都租X型車，高一級學(xué)生都租Y型車．
（1）如果從組內(nèi)隨機抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市場體驗過程中租X型車的概率；
（2）已知該地區(qū)X型車每小時的租金為1元，Y型車每小時的租金為1.2元，設(shè)為從體驗小組內(nèi)隨機抽取3人得到的每小時租金之和，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出每一層所占比例數(shù)，乘以該層人數(shù)即可求得抽取高一級和高二級的學(xué)生人數(shù)；
（Ⅱ）（1）解法1：直接法、抽取的3人中至少有2人是高二級方法種數(shù)為${C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{3}$，基本事件總數(shù)為${C}_{7}^{3}$，由古典概型概率計算公式得答案；解法2：間接法、用1減去抽取的是高二級1人或都是高一級的概率；
（2）從小組內(nèi)隨機抽取3人，得到的ξ的可能取值為：3，3.2，3.4，3.6（元）．分別求出對應(yīng)的概率，代入期望公式即可求得ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）依題意知，應(yīng)從該興趣小組中抽取的高一學(xué)生人數(shù)為$\frac{7}{20+15}×15=3$，
高二學(xué)生的人數(shù)為：$\frac{7}{20+15}×20=4$；
（Ⅱ）（1）解法1：所求的概率$P=\frac{C_4^2C_3^1+C_4^3}{C_7^3}=\frac{22}{35}$．
解法2：所求概率$P=1-\frac{C_4^1C_3^2+C_3^3}{C_7^3}=\frac{22}{35}$．
（2）從小組內(nèi)隨機抽取3人，得到的ξ的可能取值為：3，3.2，3.4，3.6（元）．
$P（ξ=3）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，$P（ξ=3.2）=\frac{C_4^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P（ξ=3.4）=\frac{C_4^1C_3^2}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，$P（ξ=3.6）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，
故ξ的數(shù)學(xué)期望.$Eξ=3×\frac{4}{35}+3.2×\frac{18}{35}+3.4×\frac{12}{35}+3.6×\frac{1}{35}=3\frac{9}{35}$（元）．

點評 本題考查古典概型概率計算公式的應(yīng)用，考查離散型隨機變量期望的求法，是中檔題．