Question

17．設(shè)函數(shù) f（x）=x³+ax²-a²x+5（a＞0）．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，當(dāng)x∈[-4，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的單調(diào)性和極值，則f（x）的一個(gè)極值為0，從而求得a的值；
（2）討論a的范圍得出f（x）在[-4，4]上的單調(diào)性，從而得出f（x）的最大值．

解答 解：（1）$f'（x）=3{x^2}+2ax-{a^2}=3（{x-\frac{a}{3}}）（{x+a}），a＞0$，
令f'（x）＞0，得x＜-a或$x＞\frac{a}{3}$，令f'（x）＜0，得$-a＜x＜\frac{a}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為$（{-∞，-a}），（{\frac{a}{3}，+∞}）$，減區(qū)間為$（{-a，\frac{a}{3}}）$，
∴當(dāng)x=-a時(shí)，函數(shù)取極大值f（-a）=a³+5，當(dāng)$x=\frac{a}{3}$時(shí)，函數(shù)取極小值$f（{\frac{a}{3}}）=-\frac{5}{27}{a^3}+5$，
又$f（{-2a}）=-2{a^3}+5＜f（{\frac{a}{3}}），f（{2a}）=10{a^3}+5＞f（{-a}）$，
∵函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，∴f（-a）=0或$f（{\frac{a}{3}}）=0$，
∵a＞0，∴$f（{\frac{a}{3}}）=-\frac{5}{27}{a^3}+5$=0，解得a=3．
（2）∵a∈[3，6]，∴$-a∈[{-6，-3}]，\frac{a}{3}∈[{1，2}]$，
①當(dāng)-a≤-4，即4≤a≤6時(shí)，函數(shù)f（x）在$[{-4，\frac{a}{3}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\frac{a}{3}，4}]$上單調(diào)遞增．
∵f（-4）-f（4）=8（a²-16）≥0，
∴$f{（x）_{max}}=f（{-4}）=4{a^2}+16a-59$，
②當(dāng)-a＞-4時(shí)，即3≤a＜4時(shí)，函數(shù)f（x）在[-4，-a）上單調(diào)遞增，在$（{-a，\frac{a}{3}}]$上單調(diào)遞減，在$（{\frac{a}{3}，4}]$上單調(diào)遞增．
∵f（-a）-f（4）=a³+4a²-16a-64=（a+4）²（a-4）＜0，
∴$f{（x）_{max}}=f（4）=-4{a^2}+16a+69$，
綜上，$f{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}4{a^2}+16a-59，4≤a≤6\\-4{a^2}+16a+69，3≤a＜4\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，分類討論思想，屬于中檔題．