Question

20．已知橢圓C的中心在坐標原點O，兩焦點分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0）、F₂（$\sqrt{3}$，0），過點P（0，2）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，且△AF₁F₂的周長為4+2$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若原點O關于直線l的對稱點在橢圓C上，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：c=$\sqrt{3}$，2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出；
（2）由題意易知：直線l的斜率存在，可設直線l的方程為：y=kx+2，（k≠0）．設原點O關于直線l的對稱點O′的坐標為（x₀，y₀）．線段OO′的中點D的坐標為$（\frac{{x}_{0}}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，由題意可知：$\frac{{y}_{0}}{2}$=k$•\frac{{x}_{0}}{2}$+2，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×k=-1，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）設橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得：c=$\sqrt{3}$，2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1．
所求橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）由題意易知：直線l的斜率存在，可設直線l的方程為：y=kx+2，（k≠0）．
設原點O關于直線l的對稱點O′的坐標為（x₀，y₀）．
則線段OO′的中點D的坐標為$（\frac{{x}_{0}}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$，
由題意可知：點D在直線l上，故有$\frac{{y}_{0}}{2}$=k$•\frac{{x}_{0}}{2}$+2，①
點O在橢圓C上，故有$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，②
線段OO′與直線l垂直，故有$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$×k=-1，③
由①③可得：x₀=-$\frac{4k}{{k}^{2}+1}$，${y}_{0}=\frac{4}{{k}^{2}+1}$，將其代入②可得：k=$±\sqrt{5}$．
故所求直線l的方程為：y=$±\sqrt{5}$x+2．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、線段的垂直平分線的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．