解:(Ⅰ)當a=3時,
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,
f′(x)=x
2-3x,
令f′(x)=x
2-3x>0解得x<0或x>3.
所以f(x)的單調遞增區(qū)間(-∞,0),(3,+∞).
(II)f′(x)=x
2-ax,
令f′(x)=x
2-ax=a,即x
2-ax-a=0,
因為a>0,
所以△=a
2+4a>0恒成立,
所以方程x
2-ax-a=0對任意正數a都有解,
所以曲線y=f(x)總有斜率為a的切線;
由(II)知,f′(x)=x
2-ax,
令f′(x)=x
2-ax=0得x
1=0或x
2=a,
因為a>0,所以當0<a<2時,x,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
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因為
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,
所以,對應任意x∈[-1,2],f(x)>0,即此時不存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,
當a≥2時,x,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
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因為
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,
所以函數f(x)在[-1,2]上的最小值是
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.
因為存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,
所以
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,
所以a
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所以a 的取值范圍為(
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,+∞)
分析:(Ⅰ)求出導函數,令導函數大于0求出x的范圍,寫成區(qū)間即為f(x)的單調遞增區(qū)間;
(II)求出導函數,令f′(x)=x
2-ax=a,因為判別式大于0恒成立,方程x
2-ax-a=0對任意正數a都有解,得到證明.
(III)求出導函數,令導函數等于0求出根,通過對a的分類討論得到根a在已知區(qū)間內函數的最小值大于0恒成立,所以此時不存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,當根a不在區(qū)間內求出f(x)的最小值,令最小值小于0求出a的范圍即可.
點評:本題考查利用導函數求函數的單調區(qū)間;利用導函數解決曲線的切線的斜率問題;通過導函數求函數的最值問題,屬于一道綜合題.