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已知函數f(x)=數學公式
(1)當a=3時,求f(x)的單調遞增區(qū)間;
(II)求證:曲線y=f(x)總有斜率為a的切線;
(III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范圍.

解:(Ⅰ)當a=3時,,
f′(x)=x2-3x,
令f′(x)=x2-3x>0解得x<0或x>3.
所以f(x)的單調遞增區(qū)間(-∞,0),(3,+∞).
(II)f′(x)=x2-ax,
令f′(x)=x2-ax=a,即x2-ax-a=0,
因為a>0,
所以△=a2+4a>0恒成立,
所以方程x2-ax-a=0對任意正數a都有解,
所以曲線y=f(x)總有斜率為a的切線;
由(II)知,f′(x)=x2-ax,
令f′(x)=x2-ax=0得x1=0或x2=a,
因為a>0,所以當0<a<2時,x,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

因為,
所以,對應任意x∈[-1,2],f(x)>0,即此時不存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,
當a≥2時,x,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

因為
所以函數f(x)在[-1,2]上的最小值是
因為存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,
所以,
所以a
所以a 的取值范圍為(,+∞)
分析:(Ⅰ)求出導函數,令導函數大于0求出x的范圍,寫成區(qū)間即為f(x)的單調遞增區(qū)間;
(II)求出導函數,令f′(x)=x2-ax=a,因為判別式大于0恒成立,方程x2-ax-a=0對任意正數a都有解,得到證明.
(III)求出導函數,令導函數等于0求出根,通過對a的分類討論得到根a在已知區(qū)間內函數的最小值大于0恒成立,所以此時不存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,當根a不在區(qū)間內求出f(x)的最小值,令最小值小于0求出a的范圍即可.
點評:本題考查利用導函數求函數的單調區(qū)間;利用導函數解決曲線的切線的斜率問題;通過導函數求函數的最值問題,屬于一道綜合題.
練習冊系列答案
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(2)若函數y=f(2x+
π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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1
x

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m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數m的范圍.

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1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( �。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數,且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數a的取值范圍是
 

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