Question

13．已知曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線L的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線L的普通方程；
（2）設(shè)點P（m，0），若直線L與曲線C交于A，B兩點，且|PA|•|PB|=1，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，化為ρ²=2ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=pcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得直角坐標方程．直線L的參數(shù)方程消去參數(shù)t即可得出直線L的普通方程．
（2）把直線L的參數(shù)方程代入方程：x²+y²=2x化為：3t²+（4$\sqrt{2}m-4\sqrt{2}$）t+4m²-8m=0，由△＞0，利用|PA|•|PB|=t₁t₂，即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，化為ρ²=2ρcosθ，
可得直角坐標方程：x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
直線L的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
消去參數(shù)t可得x-$\sqrt{2}y$-m=0．
（2）把直線L的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$t為參數(shù)），代入方程：x²+y²=2x化為：
3t²+（4$\sqrt{2}m-4\sqrt{2}$）t+4m²-8m=0，
△=（4$\sqrt{2}m-4\sqrt{2}$）²-12（4m²-8m）＞0，解得1-$\sqrt{3}$＜m＜1+$\sqrt{3}$．
∴t₁t₂=$\frac{4{m}^{2}-8m}{3}$
∵|PA|•|PB|=1=t₁t₂，
∴$\frac{4{m}^{2}-8m}{3}$=1，
解得m=1±$\frac{\sqrt{7}}{2}$．滿足△＞0．
∴實數(shù)m=1±$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．