Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…）．
（Ⅰ）若a₁=2，a₂=5，a₄=11，求a₃的值；
（Ⅱ）若a₁=a₂₀₁₄=a，證明：a_k+1-a_k≥

ak+1-a

k

且a_k≤a，（k=1，2，…，2014）．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由a₁=2，a₂=5，a₄=11結(jié)合a_k-1+a_k+1≥2a_k得到a₃的值；
（Ⅱ）把a_k-1+a_k+1≥2a_k變形得a_k+1-a_k＞a_k-a_k-1，則有a₂₀₁₄-a₂₀₁₃≥a₂₀₁₃-a₂₀₁₂≥a₂₀₁₂-a₂₀₁₁≥…≥
a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1≥…≥a₃-a₂≥a₂-a₁，然后分段利用累加法即可得到ak+1-ak≥

ak+1-a

k

．把后k-1項累加后結(jié)合a₁=a₂₀₁₄=a可證得a_k≤a．

解答： （Ⅰ）解：由條件知：a_k+1≥2a_k-a_k-1，從而a₃≥2a₂-a₁=8，a₄≥2a₃-a₂≥11
又a₄=11，∴2a₃-a₂=11，a₃=8；
（Ⅱ）證明：由a_k-1+a_k+1≥2a_k，得a_k+1-a_k＞a_k-a_k-1，
則a₂₀₁₄-a₂₀₁₃≥a₂₀₁₃-a₂₀₁₂≥a₂₀₁₂-a₂₀₁₁≥…≥a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1≥…≥a₃-a₂≥a₂-a₁，
前2014-k項相加，得：a₂₀₁₄-a_k=a-a_k≥（2014-k）（a_k+1-a_k），
后k項相加，得：k（a_k+1-a_k）≥a_k+1-a₁=a_k+1-a．
從而ak+1-ak≥

ak+1-a

k

．
后k-1項相加，得：（k-1）（a_k-a_k-1）≥a_k-a₁．
從而，

a2014-ak

2014-k

≥ak+1-ak≥ak-ak-1≥

ak-a1

k-1

，
得（k-1）a₂₀₁₄-（k-1）a_k≥（2014-k）a_k-（2014-k）a₁，
即（k-1）a₂₀₁₄+（2014-k）a₁≥2013a_k．
∴ak≤

k-1

2013

a2014+

2014-k

2013

a1．
∵a₁=a₂₀₁₄=a，代入上式得：a_k≤a．

點評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了累加法，考查了學(xué)生的靈活變形能力和邏輯推理能力，屬中高檔題．