Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），M，N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，P是雙曲線上的動點，直線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂（k₁•k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值為1，則雙曲線的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 先假設(shè)點的坐標，代入雙曲線方程，利用點差法，可得斜率之間為定值，再利用|k₁|+|k₂|的最小值為1，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，可設(shè)點M（p，q），N（-p，-q），P（s，t）．
∴$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{q}^{2}}{^{2}}=1$，且$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{t}^{2}}{^{2}}=1$．
兩式相減得$\frac{{t}^{2}-{q}^{2}}{{s}^{2}-{p}^{2}}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
再由斜率公式得：k₁k₂=$\frac{{t}^{2}-{q}^{2}}{{s}^{2}-{p}^{2}}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
∵|k₁|+|k₂|$≥\frac{2b}{a}$
根據(jù)|k₁|+|k₂|的最小值為1，可知$\frac{2b}{a}=1$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)點的對稱性，利用點差法進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．