Question

19．拋物線x²=2my（m＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，若∠AFB=120°，則雙曲線的離心率為3．

Answer 1

分析 求出，F(xiàn)（0，$\frac{m}{2}$），準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{m}{2}$，代入雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$，可得x=±$\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{n}^{2}}}$，利用準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，∠AFB=120°，得出$\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{n}^{2}}}$=$\sqrt{3}m$，求出m，n的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，F(xiàn)（0，$\frac{m}{2}$），準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{m}{2}$，
代入雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$，可得x=±$\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{n}^{2}}}$，
∵準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1（n＞0）$有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，∠AFB=120°，
∴$\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{n}^{2}}}$=$\sqrt{3}m$，
∴m=2$\sqrt{2}$n，
∴雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{8{n}^{2}+{n}^{2}}}{m}$=3．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定m，n的關(guān)系是關(guān)鍵．