Question

5．已知函數(shù)f（x）=sinx-cosx，g（x）=sin2x
（1）試說(shuō)明由函數(shù)y=g（x）的圖象經(jīng)過(guò)變換得到函數(shù)y=f（x）的圖象的變換過(guò)程；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}）$，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解．
（2）令sinx-cosx=t，則可求sin2x=1-t²，可得h（x）=f（x）+g（x）=φ（t）=-t²+t+1，由t的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求值域．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（1）$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}）$…（2分）
故先將y=sin2x的圖象上所有點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍得到y(tǒng)=sinx的圖象，
再將y=sinx的圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的$\sqrt{2}$倍得到$y=\sqrt{2}sinx$的圖象，
再把所得圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位，即得到$y=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}）$的圖象．…（5分）
（2）令sinx-cosx=t，則1-2sinxcosx=t²
故sin2x=1-t²
故h（x）=f（x）+g（x）=φ（t）=-t²+t+1…（7分）
由（1）知，$t∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]，所以φ（t）在[{-\sqrt{2}，\frac{1}{2}}]遞增，[{\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]遞減$，
所以$φ（t）∈[{-\sqrt{2}-1，\frac{5}{4}}]$，故h（x）的值域?yàn)?[{-\sqrt{2}-1，\frac{5}{4}}]$…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題值域考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．