Question

設，   ．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）如果存在，使得成立，求滿足上述條件的最大整數；

（3）如果對任意的，都有成立，求實數的取值范圍．

【解析】（1）求出切點坐標和切線斜率，寫出切線方程；（2）存在，轉化解決；（3）任意的，都有成立即恒成立，等價于恒成立

 

Answer 1

【答案】

：（1）當時，，，，，

所以曲線在處的切線方程為；         4分

（2）存在，使得成立， 

		遞減	極（最）小值	遞增

等價于：，

考察，

，

 

 

 

 

 

由上表可知：，

，

所以滿足條件的最大整數；                         8分

3）當時，恒成立，等價于恒成立，

記，，   。

記，，由于，

,   所以在上遞減，又h^/（1）=0，

當時，，時，，

即函數在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，

所以，所以。                 12分

（3）另解：對任意的，都有成立

等價于：在區(qū)間上，函數的最小值不小于的最大值，

  由（2）知，在區(qū)間上，的最大值為。

，下證當時，在區(qū)間上，函數恒成立。

當且時，，

記，，  

當，；當，

，

所以函數在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，

，即，    

所以當且時，成立，

即對任意，都有。