Question

5．已知函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)性并求出值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)，再求函數(shù)f（x）的最小正周期和圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)性并求出的值域．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+$$2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+$（sinx-cosx）（sinx+cosx）=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+{sin^2}x-{cos^2}x$=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∴周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}（k∈Z）$．
∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}（k∈Z）$．
（Ⅱ）∵$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．
$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$在區(qū)間$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$上單調(diào)遞減，
當(dāng)$x=\frac{π}{3}$時，f（x）取最大值1．
∵$f（-\frac{π}{12}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜f（\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}$．
∴$x=-\frac{π}{12}$，$f{（x）_{max}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以值域?yàn)?[-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．