Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx-x²+2mx+m，（m∈R）．
（1）當(dāng)m=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥1時，若關(guān)于x的不等式f（x）≤0恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出斜率和切點，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）運(yùn)用分離參數(shù)，得到x≥1，f(x)≤0⇒m≤

x2-xlnx

2x+1

，設(shè)g(x)=

x2-xlnx

2x+1

，求出g（x）的最小值，注意兩次運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，即可得到最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)m=1時，f（x）=xlnx-x²+2x+1，
f（1）=2，f′（1）=1，f′（x）=lnx-2x+3，
切線方程為y-2=x-1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y=x+1；
（2）∵x≥1，f(x)≤0⇒m≤

x2-xlnx

2x+1

，設(shè)g(x)=

x2-xlnx

2x+1

，g′(x)=

(2x-lnx-1)(2x+1)-2(x2-xlnx)

(2x+1)2

=

2x2-lnx-1

(2x+1)2

，
設(shè)φ(x)=2x2-lnx-1，φ′(x)=4x-

1

x

=

4x2-1

x

∵x≥1，∴φ′（x）＞0，則φ（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴x≥1時，φ（x）≥φ（1）=1＞0，∴x≥1時，g′（x）＞0，
則g（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
則g（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為g(1)=

1

3

，
當(dāng)x≥1時，不等式f（x）≤0恒成立，則m≤

1

3

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，屬于中檔題．