Question

12．我們把離心率e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）稱為黃金雙曲線．如圖是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$）的圖象，給出以下幾個(gè)說法：
①若b²=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線；
②若F₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，A₁，A₂為左右頂點(diǎn)，B₁（0，b），B₂（0，-b）且∠F₁B₁A₂=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；
③若MN經(jīng)過右焦點(diǎn)F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．
其中正確命題的序號(hào)為①②③．

Answer 1

分析 利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)分別求出離心率，再利用黃金雙曲線的定義求解．

解答 解：①b²=ac，則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+e}$，
∴e²-e-1=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，或e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（舍），
∴該雙曲線是黃金雙曲線，故①正確；
③如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點(diǎn)，A₁，A₂為左右頂點(diǎn)，
B₁（0，b），B₂（0，-b），且∠F₁B₁A₂=90°，
∴B₁F₁²+B₁A₂²=A₂F₁²，即b²+2c²=（a+c）²，
整理，得b²=ac，由①知該雙曲線是黃金雙曲線，故②正確；
③如圖，MN經(jīng)過右焦點(diǎn)F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，
∴NF₂=OF₂，∴$\frac{^{2}}{a}$=c，∴b²=ac，
由①知該雙曲線是黃金雙曲線，故③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查黃金雙曲線的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．