Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-ax²，直線l是曲線y=g（x）的一條切線．證明：曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)不可能在直線l的上方；
（Ⅲ）求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有

21

21+1

×

22

22+1

×…×

2n

2n+1

＞

1

e

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀）是曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)，則函數(shù)在M處的切線方程為y-g（x₀）=g′（x₀）（x-x₀），構(gòu)造h（x）=g（x）-[（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）]，求出h（x）在x=x₀處取得最大值h（x₀），即h（x）≤0恒成立，從而得出結(jié)論；
（Ⅲ）先證明當(dāng)x＞-1且x≠0時(shí)，有l(wèi)n（x+1）＜x，取對(duì)數(shù)，利用

2n+1

2n

=1+

1

2n

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴f′（x）=-

x

x+1

，
∴-1＜x＜0，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，x＞0，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=0時(shí)，f（x）取得最大值f（0）=0；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ），g（x）=ln（x+1）-ax²-x，
設(shè)M（x₀，y₀）是曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)，則函數(shù)在M處的切線方程為y-g（x₀）=g′（x₀）（x-x₀），
即y=（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）
令h（x）=g（x）-[（

1

x0+1

-2ax₀-1）（x-x₀）+f（x₀）]，則
h′（x）=

1

x+1

-2ax-1-（

1

x0+1

-2ax₀-1），
∵h(yuǎn)′（x₀）=0，
∴h′（x）在（-1，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）在（-1，x₀）上是增函數(shù)，在（x₀，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）在x=x₀處取得最大值h（x₀），即h（x）≤0恒成立，
∴曲線y=g（x）上的任意一點(diǎn)都不可能在直線l的上方；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知ln（x+1）≤x在（-1，+∞）是恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，
故當(dāng)x＞-1且x≠0時(shí)，有l(wèi)n（x+1）＜x，
∵

2n+1

2n

=1+

1

2n

，
∴l(xiāng)n（

21+1

21

×

22+2

22

×…×

2n+2

2n

）=ln[（1+

1

21

）（1+

1

22

）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）]
＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，
∴

21+1

21

×

22+2

22

×…×

2n+2

2n

＜e．
∴

21

21+1

×

22

22+1

×…×

2n

2n+1

＞

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．