Question

18．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足6S_n=a_n+1²-9n（n∈N^*），且a₂，a₃，a₅構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為 a_n=3n-3．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列{a_n}為公差為3的等差數(shù)列，再根據(jù)a₂，a₃，a₅構(gòu)成等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式．

解答 解：∵6S_n=a_n+1²-9n，
當(dāng)n=1時(shí)，6a₁=a₂²-9
當(dāng)n≥2時(shí)，6S_n-1=a_n²-9（n-1）
∴6a_n=a_n+1²-9（n-1）-a_n²+9（n-1）
∴a_n+1²=a_n²+6a_n+9=（a_n+3）²，
∵a_n＞0，
∴a_n+1=a_n+3，
∴數(shù)列{a_n}為公差為3的等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+3（n-1），
∵a₂，a₃，a₅構(gòu)成等比數(shù)列，
∴a₃²=a₂•a₅，
∴（a₁+6）²=（a₁+3）（a₁+12）
解得a₁=0，
∴a_n={a_n}3n-3，
∴a₂=3，
∴滿足6a₁=a₂²-9，
∴a_n=3n-3，
故答案為：3n-3

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和和通項(xiàng)公式的求法，考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題