Question

8．已知拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程是y=$\sqrt{2}$x，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△FAB是正三角形，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．

Answer 1

分析 拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的焦點(diǎn)為F（$\sqrt{3}$，0），其準(zhǔn)線方程為x=-$\sqrt{3}$，利用△FAB為正三角形，可得A的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得a，b的方程，利用雙曲線的一條漸近線方程是y=$\sqrt{2}$x，可得a，b的方程，從而可得a，b的值，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：拋物線y²=4$\sqrt{3}$x的焦點(diǎn)為F（$\sqrt{3}$，0），其準(zhǔn)線方程為x=-$\sqrt{3}$，
∵△FAB為正三角形，
∴|AB|=4，
將（-$\sqrt{3}$，2）代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{3}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}$=1，
∵雙曲線的一條漸近線方程是y=$\sqrt{2}$x，∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴雙曲線C₂的方程為${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．
故答案為${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用拋物線、雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵．