Question

1．某校運動會，高二理三個班級的3名同學報名參加鉛球、跳高、三級跳遠3個運動項目，每名同學都可以從3個運動項目中隨機選擇一個，且每個人的選擇互相獨立．
（Ⅰ）求3名同學恰好選擇了2個不同運動項目的概率；
（Ⅱ）設選擇跳高的人數(shù)為ξ，試求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等可能事件的概率計算公式求出對應的概率值；
（Ⅱ）根據(jù)題意，隨機變量ξ服從二項分布，且ξ的所有可能取值為0，1，2，3；計算對應的概率值，寫出ξ的概率分布列，計算數(shù)學期望值．

解答 解：（Ⅰ）每名同學都有3種選擇，3名同學共有3³=27種等可能結果，
設3名同學恰好選擇了不同運動項目為事件A，則
事件A包含的基本事件個數(shù)為${C}_{3}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${C}_{1}^{1}$•${A}_{2}^{2}$=18，
所以P（A）=$\frac{18}{{3}^{3}}$=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）設“1名同學選擇跳高”為事件B，則P（B）=$\frac{1}{3}$，
3人中選擇跳高的人數(shù)ξ可以看作3次獨立重復實驗中事件B發(fā)生的次數(shù)，
所以隨機變量ξ服從二項分布，且ξ的所有可能取值為0，1，2，3；
則P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{1}{3}）}^{0}$•${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{12}{27}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{6}{27}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{3}$•${（\frac{2}{3}）}^{0}$=$\frac{1}{27}$；
所以ξ的概率分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

所以ξ數(shù)學期望為Eξ=0×$\frac{8}{27}$+1×$\frac{12}{27}$+2×$\frac{6}{26}$+3×$\frac{1}{27}$=1（或Eξ=nP=3×$\frac{1}{3}$=1）．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，是中檔題．