Question

數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁=2且a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+…+a_n）（n∈N^*），記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意，可求得a_n+1=

3

2

a_n（n≥2），又a₂=

1

2

a₁=1，于是可知數(shù)列{a_n}是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，公比為

3

2

，利用等比數(shù)列的求和公式可求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，
再利用等比數(shù)列的求和公式可求得數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：由題意可得a_n+1=

1

2

（a₁+a₂+…+a_n）=

1

2

S_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

1

2

S_n-1，
兩式相減得，a_n+1-a_n=

1

2

（S_n-S_n-1）=

1

2

a_n，
從而有a_n+1=

3

2

a_n（n≥2），
又a₂=

1

2

a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，公比為

3

2

，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=2+1+

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-2=2+

[1-( 3 2 )n-1]

1- 3 2

=2-2+2•(

3

2

)n-1=2•(

3

2

)n-1．
則數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n=S₁+S₂+…+S_n=2[1+

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-1]=2×

[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=4×(

3

2

)n-4．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，考查等比關(guān)系的確定，著重考查等比數(shù)列的求和公式，考查化歸思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．