Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)?的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（以t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=cosθ．
（Ⅰ）把C的極坐標(biāo)方程化為普通方程；
（Ⅱ）求?與C交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ，利用互化公式可得曲線(xiàn)C的普通方程．
（Ⅱ）直線(xiàn)?$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（{以t為參數(shù)}）$，消去參數(shù)可得普通方程是y=$\sqrt{3}$x，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)．利用互化公式可得極坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=cosθ，即ρ²sin²θ=ρcosθ，
利用互化公式可得：曲線(xiàn)C的普通方程是y²=x．
（Ⅱ）直線(xiàn)?$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（{以t為參數(shù)}）$，消去參數(shù)可得普通方程是y=$\sqrt{3}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，
化為3x²-x=0，解得x=0或x=3．
∴直線(xiàn)?與曲線(xiàn)C交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)為$A（0，0），B（3，3\sqrt{3}）$，
∵${ρ_A}=0，{ρ_B}=\sqrt{{3^2}+（3\sqrt{3}{）^2}}=6$．
$tan{θ_A}=0，tan{θ_B}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，ρ≥0，0≤θ＜2π，
θ_A=0，θ_B=$\frac{π}{6}$．
故直線(xiàn)?與曲線(xiàn)C交點(diǎn)的極坐標(biāo)$A（{0，0}），B（{6，\frac{π}{6}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交交點(diǎn)求法、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．