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8.如圖,已知拋物線x2=y,點(diǎn)A(-12,14),B(32,94),拋物線上的點(diǎn)P(x,y)(-12<x<32),過點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q.
(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍;
(Ⅱ)求|PA|•|PQ|的最大值.

分析 (Ⅰ)通過點(diǎn)P在拋物線上可設(shè)P(x,x2),利用斜率公式結(jié)合-12<x<32可得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)知P(x,x2)、-12<x<32,設(shè)直線AP的斜率為k,聯(lián)立直線AP、BQ方程可知Q點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可用k表示出PQPA,計(jì)算可知|PA|•|PQ|=(1+k)3(1-k),通過令f(x)=(1+x)3(1-x),-1<x<1,求導(dǎo)結(jié)合單調(diào)性可得結(jié)論.

解答 解:(Ⅰ)由題可知P(x,x2),-12<x<32
所以kAP=x214x+12=x-12∈(-1,1),
故直線AP斜率的取值范圍是:(-1,1);
(Ⅱ)由(I)知P(x,x2),-12<x<32,
所以PA=(-12-x,14-x2),
設(shè)直線AP的斜率為k,則AP:y=kx+12k+14,BQ:y=-1kx+32k+94
聯(lián)立直線AP、BQ方程可知Q(3+4kk22k2+2,9k2+8k+14k2+4),
PQ=(1+kk2k31+k2,k4k3+k2+k1+k2),
又因?yàn)?\overrightarrow{PA}$=(-1-k,-k2-k),
故-|PA|•|PQ|=PAPQ=1+k3k11+k2+k21+k3k11+k2=(1+k)3(k-1),
所以|PA|•|PQ|=(1+k)3(1-k),
令f(x)=(1+x)3(1-x),-1<x<1,
則f′(x)=(1+x)2(2-4x)=-2(1+x)2(2x-1),
由于當(dāng)-1<x<12時(shí)f′(x)>0,當(dāng)12<x<1時(shí)f′(x)<0,
故f(x)max=f(12)=2716,即|PA|•|PQ|的最大值為2716

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的最值問題,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)思想,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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