分析 (Ⅰ)通過點(diǎn)P在拋物線上可設(shè)P(x,x2),利用斜率公式結(jié)合-12<x<32可得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)知P(x,x2)、-12<x<32,設(shè)直線AP的斜率為k,聯(lián)立直線AP、BQ方程可知Q點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可用k表示出→PQ、→PA,計(jì)算可知|PA|•|PQ|=(1+k)3(1-k),通過令f(x)=(1+x)3(1-x),-1<x<1,求導(dǎo)結(jié)合單調(diào)性可得結(jié)論.
解答 解:(Ⅰ)由題可知P(x,x2),-12<x<32,
所以kAP=x2−14x+12=x-12∈(-1,1),
故直線AP斜率的取值范圍是:(-1,1);
(Ⅱ)由(I)知P(x,x2),-12<x<32,
所以→PA=(-12-x,14-x2),
設(shè)直線AP的斜率為k,則AP:y=kx+12k+14,BQ:y=-1kx+32k+94,
聯(lián)立直線AP、BQ方程可知Q(3+4k−k22k2+2,9k2+8k+14k2+4),
故→PQ=(1+k−k2−k31+k2,−k4−k3+k2+k1+k2),
又因?yàn)?\overrightarrow{PA}$=(-1-k,-k2-k),
故-|PA|•|PQ|=→PA•→PQ=(1+k)3(k−1)1+k2+k2(1+k)3(k−1)1+k2=(1+k)3(k-1),
所以|PA|•|PQ|=(1+k)3(1-k),
令f(x)=(1+x)3(1-x),-1<x<1,
則f′(x)=(1+x)2(2-4x)=-2(1+x)2(2x-1),
由于當(dāng)-1<x<12時(shí)f′(x)>0,當(dāng)12<x<1時(shí)f′(x)<0,
故f(x)max=f(12)=2716,即|PA|•|PQ|的最大值為2716.
點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的最值問題,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)思想,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | p1,p3 | B. | p1,p4 | C. | p2,p3 | D. | p2,p4 |
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A. | x>3 | B. | x>4 | C. | x≤4 | D. | x≤5 |
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A. | √5 | B. | 2√2 | C. | 2√3 | D. | 3√3 |
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