Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，點(diǎn)A，B，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，若∠AFB=∠BAF+90°，則橢圓C的離心率是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合已知可得a，b，c的關(guān)系，進(jìn)一步結(jié)合隱含條件可得關(guān)于離心率e的方程求解．

解答 解：如圖，tan∠BAF=$\frac{a}$，tan∠BFO=$\frac{c}$，
∵∠AFB=∠BAF+90°，
∴∠BFO=180°-∠AFB=90°-∠BAF，
即tan∠BFO=$\frac{1}{tan∠BAF}$，
∴$\frac{c}$=$\frac{a}$，則b²=a²-c²=ac，由e=$\frac{c}{a}$，
∴e²+e-1=0，由0＜e＜1，
解得：e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．