Question

14．已知函數(shù)f（x）=kx（k≠0），且滿足f（x+1）•f（x）=x²+x，
（ I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（ II）若函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，h（x）=$\frac{f（x）+1}{f（x）-1}$（f（x）≠1），問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）利用f（x+1）•f（x）=x²+x，對(duì)一切x恒成立，得到k；
（II）由（ I）得到k為1，即f（x）的解析式，代入h（x），判斷函數(shù)在[m，m+1]的單調(diào)性，得到關(guān)于m的方程組解之．

解答 解：（I）f（x+1）•f（x）=k（x+1）•kx=k²（x²+x）
所以（k²-1）（x²+x）=0對(duì)一切x恒成立，k²-1=0，得k=±1；
故f（x）=±x；                                                                      …6分
（II）因f（x）為R上的增函數(shù)，
所以f（x）=x，則$h（x）=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}，x≠1$
而h（x）在（-∞，1）和（1，-∞）上是減函數(shù)，
于是h（x）在[m，m+1]上單調(diào)遞減，…8分
則$\left\{\begin{array}{l}h（m）=m+1\\ h（m+1）=m\end{array}\right.$解得m=-1或m=2．                                 …12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用；屬于中檔題．