Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，3S_n=a_n（n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃并猜想a_n的表達式；
（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得a₁=2，3S_n=a_n（n+2），可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，猜想a_n=n（n+1）．
（Ⅱ）檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答 解：（Ⅰ）由已知得3（a₁+a₂）=4a₂，a₂=6，3（a₁+a₂+a₃）=5a₃，a₃=12，
猜想a_n=n（n+1）．
（Ⅱ）當n=1時，顯然成立．
假設當n=k（k≥1）時成立，即a_k=k（k+1），
當n=k+1時，3S_k+1=a_k+1（k+3），即3（S_k+a_k+1）=（k+3）a_k+1，
∵3S_k=a_k（k+2），
∴ka_k+1=a_k（k+2）=k（k+1）（k+2），
a_k+1=（k+1）（k+2），
∴當n=k+1時猜想也成立，
故猜想正確．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學歸納法證明等式成立．證明當n=k+1時命題也成立，是解題的難點．