Question

6．如圖，從橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（\;a＞b＞0\;）$上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F₁，又點A是橢圓與x軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且$AB∥OP，\;\;|{F_1}A|\;=\sqrt{10}+\sqrt{5}$．
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 若M是橢圓上的動點，點N（4，2），求線段MN中點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由題意可知：求得A，B，F₁，P點坐標，由k_AB=k_OP，根據斜率公式，求得b和c的值，根據橢圓的性質，$a=\sqrt{2}c$，由$|{F_1}A|\;=\;a+c=（\sqrt{2}+1）\sqrt{5}$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ） 由題意可知：根據中點坐標公式，求得M點坐標，將M代入橢圓方程，即可求得Q的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ） 由題意可知，$A\;（\;a，\;\;0\;），B\;（\;0，\;\;b\;），{F_1}\;（\;-c，\;\;0\;），P\;（\;-c，\;\;\frac{b^2}{a}\;）$，
∵AB∥OP，
∴k_AB=k_OP，
∴$-\frac{a}=-\frac{b^2}{ac}⇒b=c$，
∵a²=b²+c²，
∴a²=2c²，
∴$a=\sqrt{2}c$，
∴$a+c=（\sqrt{2}+1）\;c$，$|{F_1}A|\;=\;a+c=（\sqrt{2}+1）\sqrt{5}$，
∴$a=\sqrt{10}$，$c=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{5}$，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$．
（Ⅱ） 設Q（x，y），已知點Q為線段MN中點，N（4，2），則M（2x-4，2y-2），
∵M是橢圓$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$上的動點，
∴$\frac{{{{（2x-4）}^2}}}{10}+\frac{{{{（2y-2）}^2}}}{5}=1$，
即$\frac{{2{{（x-2）}^2}}}{5}+\frac{{4{{（y-1）}^2}}}{5}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，中點坐標公式公式，求動點的軌跡方程，考查計算能力，屬于中檔題．