Question

20．已知函數(shù)$f（x）={e^x}-\frac{1}{2}a{x^2}$（x＞0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求證f（x）＞1；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)a，使得f'（x）≥x²lnx對(duì)一切x＞0恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到a≤e，問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)a=2時(shí)，不等式恒成立，設(shè)$g（x）=\frac{e^x}{x^2}-\frac{2}{x}-lnx$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=e^x-x²，則f'（x）=e^x-2x，
令${f_1}（x）=f'（x）={e^x}-2x$，則${f'_1}（x）={e^x}-2$，
令f'₁（x）=0，得x=ln2，故f'（x）在x=ln2時(shí)取得最小值，
∵f'（ln2）=2-2ln2＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=1；
（Ⅱ）f'（x）=e^x-ax，
由f'（x）≥x²lnx，得e^x-ax≥x²lnx對(duì)一切x＞0恒成立，
當(dāng)x=1時(shí)，可得a≤e，所以若存在，則正整數(shù)a的值只能取1，2．
下面證明當(dāng)a=2時(shí)，不等式恒成立，
設(shè)$g（x）=\frac{e^x}{x^2}-\frac{2}{x}-lnx$，則$g'（x）=\frac{{（{x-2}）{e^x}}}{x^3}+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{（{x-2}）（{{e^x}-x}）}}{x^3}$，
由（Ⅰ）e^x＞x²+1≥2x＞x，∴e^x-x＞0（x＞0），
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，g'（x）＞0，
即g（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
∴$g（x）≥g（2）=\frac{1}{4}（{{e^2}-4-4ln2}）＞\frac{1}{4}（{{{2.7}^2}-4-4ln2}）＞\frac{1}{4}（{3-ln16}）＞0$，
∴當(dāng)a=2時(shí)，不等式恒成立，
所以a的最大值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．