Question

如圖，⊙O過平行四邊形ABCT的三個頂點B，C，T，且與AT相切，交AB的延長線于點D．
（1）求證：AT²=BT•AD；
（2）E、F是BC的三等分點，且DE=DF，求∠A．

Answer 1

考點：與圓有關的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）證明AB=BT，結合切割線定理，即可證明結論；
（2）取BC中點M，連接DM，TM，可得O，D，T三點共線，DT為⊙O的直徑，即可求∠A．

解答： （1）證明：因為∠A=∠TCB，∠ATB=∠TCB，
所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．
又AT ²=AB?AD，所以AT ²=BT?AD．…（4分）
（2）解：取BC中點M，連接DM，TM．
由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．
因為DE=DF，M為EF的中點，所以DM⊥BC．
所以O，D，T三點共線，DT為⊙O的直徑．
所以∠ABT=∠DBT=90°．
所以∠A=∠ATB=45°．…（10分）

點評：本題考查與圓有關的比例線段，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．