Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，.

（1）證明：平面

（2）當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正切值為時(shí)，求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）在四邊形中，由平面幾何知識(shí)，易證，再由平面，得到，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證明平面.

（2）根據(jù)（1）知平面，得到是直線(xiàn)與平面所成角，由直線(xiàn)與平面所成角的正切值為，得到，從而，然后以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，在平面中，過(guò)A垂直于AB的直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，已知是平面的一個(gè)法向量，再求得平面的一個(gè)法向量，利用二面角的向量公式求解.

（1）∵四邊形為平行四邊形，

∴，，

∴在△中，由余弦定理得，

∴.

∴，即，

又∵平面，∴，

又∵

∴平面

（2）由（1）知，是直線(xiàn)與平面所成角，，

∴，

又∵平面，

∴

∴△是等腰直角三角形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系：

則有：，

由已知是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，

，

，

，

∴銳二面角的余弦值