Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|1-

1

x

|
（1）求滿足f（x）=2的x值；
（2）是否存在實數(shù)a，b，且0＜a＜b＜1，使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，2b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：帶絕對值的函數(shù),函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)的零點，去掉絕對值符號，即可求滿足f（x）=2的x值；
（2）化簡函數(shù)y=f（x）的表達式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，2b]，列出關(guān)于a，b的方程即可求出結(jié)果．

解答： （本題滿分10分） 
解：（1）由f（x）=2知|1-

1

x

|=2，所以

1

x

=-1或

1

x

=3，于是x=-1或x=

1

3

…（4分）
（2）因為當x∈（0，1）時，f(x)=

1-x

x

=

1

x

-1…（6分）
易知f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，又0＜a＜b＜1，y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，2b]
所以

f(a)=2b f(b)=a

⇒

1 a -1=2b 1 b -1=a

⇒

a= 2 -1 b= 2 2

…（10分）

點評：本題考查含絕對值的函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點，以及函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力．