Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²．
（Ⅰ）求h（x）=f（x）-3x的極值；
（Ⅱ）設f（x）=2f（x）-3x²-kx∈R，若函數(shù)f（x）存在兩個零點m，n（0＜m＜n），且滿足2x₀=m+n，問：函數(shù)f（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀）處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)，利用極值的定義，求h（x）=f（x）-3x的極值；
（Ⅱ）先假設F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx．結合題意列出方程組，利用換元法導數(shù)研究單調性，證出ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

在（0，1）上成立，從而出現(xiàn)與題設矛盾，說明原假設不成立．由此即可得到函數(shù)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線不能平行于x軸．

解答： 解：（Ⅰ） 由已知，h′(x)=

2x2-3x+1

x

，令h′(x)=

2x2-3x+1

x

=0，得x=

1

2

，或x=1，
列表易得h（x）_極小值=h（1）=-2，h(x)極大值=h(

1

2

)=

5

4

-ln2；
（Ⅱ）設F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx
結合題意，2lnm-m²-km=0；2lnn-n²-kn=0，相減得2ln

m

n

-（m+n）（m-n）=k（m-n）
F(x0)=

2

x0

-2x0-k=0，∴k=

2

x0

-2x0，又m+n=2x₀，k=

4

m+n

-2(m+n)
∴l(xiāng)n

m

n

=

2(m-n)

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

設u=

m

n

∈（0，1），得⑤式變?yōu)閘nu-

2u-2

u+1

=0（u∈（0，1）），
設y=lnu-

2u-2

u+1

（u∈（0，1）），可得y′=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0，
所以函數(shù)y=lnu-

2u-2

u+1

在（0，1）上單調遞增，
因此，y＜y|_u=1=0，即lnu-

2u-2

u+1

＜0，也就是ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

此式與⑤矛盾
所以函數(shù)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線不能平行于x軸．

點評：本題給出含有對數(shù)符號的基本初等函數(shù)函數(shù)，討論了函數(shù)的單調性并探索函數(shù)圖象的切線問題，著重考查了導數(shù)的幾何意義和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等知識，屬于中檔題．