Question

2．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別a，b，c，已知$\overrightarrow m=（{\frac{cosB}+\frac{cosC}{c}，sinA}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{1}{a}，1}）$，且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$
（1）證明sinBsinC=sinA；
（2）若a²+c²-b²=$\frac{10}{13}$ac，求tanC．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡整理即可得證；
（2）運(yùn)用余弦定理和同角的基本關(guān)系式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：由$\overrightarrow m=（{\frac{cosB}+\frac{cosC}{c}，sinA}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{1}{a}，1}）$，且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
可得$\frac{sinA}{a}$=$\frac{cosB}$+$\frac{cosC}{c}$，
由正弦定理可得$\frac{sinA}{sinA}$=$\frac{cosB}{sinB}$+$\frac{cosC}{sinC}$=1，
即有sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC，
即為sin（B+C）=sinBsinC，
則sinBsinC=sinA；
（2）由（1）$\frac{cosB}{sinB}$+$\frac{cosC}{sinC}$=1，
可得tanB+tanC=tanBtanC，
由a²+c²-b²=$\frac{10}{13}$ac，
由余弦定理可得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{10}{13}$•$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{5}{13}$，
sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，
可得tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{12}{5}$，
則tanC=$\frac{tanB}{tanB-1}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{12}{5}-1}$=$\frac{12}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的共線的坐標(biāo)表示，考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查三角函數(shù)的恒等變換，以及運(yùn)算和化簡能力，屬于中檔題．