Question

已知橢圓C₁：x²+4y²=1，焦點在x軸上的橢圓C₂的短軸長與C₁的長軸長相等，且其離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）若點T滿足：

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

，其中M，N是C₂上的點，且直線OM，ON的斜率之積等于-

1

4

，是否存在兩定點A，B，使|TA|+|TB|為定值？若存在，求出這個定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據橢圓的性質求出C₁的長軸，然后根據離心率公式列出橢圓C₂的系數(shù)a，b，c的方程組，解之即可．
（2）根據已知可得，此例應該與橢圓的定義有關，因此只需將點T，M，N的坐標給出來，然后根據已知條件求出|TA|+|TB|的值即可．

解答： 解：（1）由方程C₁：x²+4y²=1得其長軸長為2，再設橢圓C₂的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則由已知得

2b=2 c a = 3 2 a2=b2+c2

，
解得a=2，故C₂的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設T點的坐標為（x，y），M，N的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）．
由

OT

=

MN

+2

OM

+

ON

得（x，y）=（x₁-x₂，y₁-y₂）+2（x₁，y₁）+（x₂，y₂）．
所以x=2x₂+x₁，y=2y₂+y₁．
設直線OM，ON的斜率分別為k_OM，k_ON，由已知得k_OM•k_ON=

y1y2

x1x2

=-

1

4

．
即x₁x₂+4y₁y₂=0，又x12+4y12=4，x22+4y22=4，
所以x2+4y2=(2x2 +x1 )²+4(2y2+y1)2=x12+4y12+4(x22+4y22)+4x1x2+16y₁y₂
=20+4（x₁x₂+4y₁y₂）=20，
所以x²+4y²=20，即T是橢圓

x2

20

+

y2

5

=1上的點，
根據橢圓的定義可知，存在兩定點A，B分別為橢圓

x2

20

+

y2

5

=1的兩個焦點使|TA|+|TB|為定值，因為此時a²=20，所以a=2

5

，所以|TA|+|TB|=2a=4

5

．

點評：本題考查了橢圓的定義和基本性質及其標準方程的求法，熟練掌握橢圓的定義及其性質是解題的關鍵．