Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁a₂…a_n=2bn-n，若{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=1，b₂=b₁+2．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設c_n=

1

an

-

1

bn

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由a₁a₂…a_n=2bn-n，令n=1，可得a₁=2b1-1，解得b₁=1，b₂=b₁+2=3．由a1a2=2b2-2=2，可得a₂=2．利用等比數(shù)列的通項公式可得：an=2n-1．由a₁a₂…a_n=2bn-n，可得2bn-n=1×2×2²×…×2^n-1，即可得出b_n．
（II）c_n=

1

2n-1

-

2

n(n+1)

=

1

2n-1

-2(

1

n

-

1

n+1

)．利用等比數(shù)列的前n項和公式、“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（I）∵a₁a₂…a_n=2bn-n，
令n=1，可得a₁=2b1-1，即1=2b1-1，
∴b₁-1=0，解得b₁=1，
∴b₂=b₁+2=3．
由a1a2=2b2-2=2，∴a₂=2．
∴

a2

a1

=2，
∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴an=2n-1．
∵a₁a₂…a_n=2bn-n，
∴2bn-n=1×2×2²×…×2^n-1=2^{1+2+…+（n-1）}=2

n(n-1)

2

，
∴bn=n+

n(n-1)

2

=

n(n+1)

2

．
（II）c_n=

1

an

-

1

bn

=

1

2n-1

-

2

n(n+1)

=

1

2n-1

-2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=

1- 1 2n

1- 1 2

-2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2-

1

2n-1

-2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

-

1

2n-1

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”、指數(shù)的運算性質、遞推式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．