Question

9．已知函數(shù)f（x）=m-|x-1|-|x+1|．
（1）當(dāng)m=5時，求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若二次函數(shù)y=x²+2x+3與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=5時，把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由二次函數(shù)y=x²+2x+3=（x+1）²+2在x=-1取得最小值2，f（x）在x=-1處取得最大值m-2，故有m-2≥2，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=5時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}5+2x\;（{x＜-1}）\\ 3\;\;\;\;（{-1≤x≤1}）\\ 5-2x\;\;（{x＞1}）\end{array}\right.$，…（3分）
由f（x）＞2得不等式的解集為$\left\{{x\left|{-\frac{3}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\right.}\right\}$．…（5分）
（2）由二次函數(shù)y=x²+2x+3=（x+1）²+2，該函數(shù)在x=-1取得最小值2，
因為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}m+2x\;（{x＜-1}）\\ m-2\;\;\;\;（{-1≤x≤1}）\\ m-2x\;\;（{x＞1}）\end{array}\right.$，在x=-1處取得最大值m-2，…（8分）
所以要使二次函數(shù)y=x²+2x+3與函數(shù)y=f（x）的圖象恒有公共點，
只需m-2≥2，即m≥4．…（10分）

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解；還考查了函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．