Question

6．已知球半徑為10cm，球內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，高為h，則r和h為何值時，球內(nèi)接圓柱的體積最大？最大值為多少？

Answer 1

分析 本題考查的知識點是棱柱、棱錐、棱臺的體積，為求出圓柱體積最大時的底面半徑，我們可以設(shè)圓柱體的底面半徑為r，進而根據(jù)截面圓半徑、球半徑、球心距滿足勾股定理，可得R²=r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$，進而得到其體積的表達式，然后結(jié)合基本不等式，即可得到圓柱體積最大時的底面半徑的值．

解答 解：設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為h，則R²=r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$，
∴R²=r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$r²+$\frac{1}{2}$r²+$\frac{{h}^{2}}{4}$≥3$\root{3}{\frac{1}{16}{r}^{4}{h}^{2}}$，
∴r²h≤$\frac{4}{9}$$\sqrt{3}{R}^{3}$
∴圓柱的體積V=πr²h≤$\frac{4}{9}$$\sqrt{3}{R}^{3}$π
當且僅當r²=$\frac{1}{2}$h²，即h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$R時，V取最大值$\frac{4}{9}$$\sqrt{3}{R}^{3}$π．

點評 若球的截面圓半徑為r，球心距為d，球半徑為R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，即R²=r²+d²．