Question

6．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面關(guān)于f（x）的判斷，其中不正確的是（　　）

• A． f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，0）對(duì)稱
• B． f（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱
• C． f（x）在[0，1]上是減函數(shù)
• D． f（2）=f（0）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由f（x+1）=-f（x）分析可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)，可得D正確，利用函數(shù)的奇偶性分析可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，0）對(duì)稱，則A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；結(jié)合周期性以及對(duì)稱性分析可得C選項(xiàng)正確；綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若f（x+1）=-f（x），則f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即f（x+2）=f（x），f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
則有f（2）=f（0），D選項(xiàng)正確；
若f（x+2）=f（x），且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
則有f（x+2）=f（-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，0）對(duì)稱，
則A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在在[0，1]上是減函數(shù)，C選項(xiàng)正確；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)的奇偶性以及周期性，關(guān)鍵是分析得到函數(shù)的周期．