Question

1．設(shè)函數(shù)f （x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x-1，函數(shù)f′（x）為f （x）的導(dǎo)函數(shù)．
（I）求函數(shù)f′（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（II）已知函數(shù)y=g （x）的圖象與函數(shù)y=f （x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f （x）＞g （x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f （x₁）+f （x₂）=0，證明：x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；
（Ⅱ）令F （x）=f （x）-g （x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出F（x）＞F（0），證出結(jié)論即可；
（Ⅲ）要證x₁+x₂＜0，即證x₁＜-x₂，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性只需證-f （x₂）=f （x₁）＜f （-x₂），即f （x₂）+f （-x₂）＞0，結(jié)合（Ⅱ）得出結(jié)論．

解答 解：（I）f′（x）=e^x-x-1，f′′（x）=e^x-1（2分）
當(dāng)x＜0時(shí)，f′′（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′′（x）＞0
∴f′（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)x=0時(shí)，f′（0）=0為f′（x）極小值，無(wú)極大值．（4分）
（II）證明：由題意g （x）=-f （-x）=-e^-x+$\frac{1}{2}$x²-x+1，（5分）
令F （x）=f （x）-g （x）=f （x）+f （-x）=e^x+e^-x-x²-2（x≥0），
F′（x）=e^x-e^-x-2x，F(xiàn)′′（x）=e^x+e^-x-2≥0（6分）
因此，F(xiàn)′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，從而有F′（x）≥F′（0）=0；
因此，F(xiàn) （x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，（7分）
當(dāng)x＞0時(shí)，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（8分）
（III）證明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上單調(diào)遞增，且f （0）=0．（9分）
因?yàn)閤₁≠x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，于是有x₁＜0，x₂＞0，
要證x₁+x₂＜0，即證x₁＜-x₂．
因?yàn)閒 （x）單調(diào)遞增，f （x₁）+f （x₂）=0
故只需證-f （x₂）=f （x₁）＜f （-x₂），即f （x₂）+f （-x₂）＞0（10分）
因?yàn)閤₂＞0，由（II）知上不等式成立，從而x₁+x₂＜0成立．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．