Question

17．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0，
（Ⅰ）求圓C的面積；
（Ⅱ）直線與圓C相交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得：ρ²=2$\sqrt{2}$ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，配方可得圓的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)方程，可得圓的半徑，即可多得出面積．
（Ⅱ）直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0，利用互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程，利用點到直線的距離公式可得圓心（1，1）到直線的距離d，再利用弦長公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得：ρ²=2$\sqrt{2}$ρ（sinθ+cosθ），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2$\sqrt{2}$（x+y），
配方可得：圓的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=2，
圓的半徑為$\sqrt{2}$，∴面積為2π．
（Ⅱ）直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0，可得：直線的直角坐標(biāo)方程為x-y+1=0，
圓心（1，1）到直線的距離為$\frac{|1-1+1|}{{\sqrt{1+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$|AB|=2\sqrt{{{（\sqrt{2}）}^2}-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\sqrt{6}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、圓的面積、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．