Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|和＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$＞的余弦值．

Answer 1

分析 運用向量的數量積的定義，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-4，再由向量的平方即為模的平方，以及斜率的夾角公式，計算即可得到所求值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$，可得
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=2×4×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=$\sqrt{4+16-2×（-4）}$=2$\sqrt{7}$；
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4-（-4）=8，
|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2×2$\sqrt{7}$=4$\sqrt{7}$，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{8}{4\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查向量的數量積的定義和性質，考查向量的平方即為模的平方，以及向量的夾角公式，屬于中檔題．