Question

14．S_n為正項等比數(shù)列{a_n}的前n項和，若S₂是S₄與-5的等差中項，則a₅+a₆的最小值為（　　）

• A． 50
• B． 40
• C． 30
• D． 20

Answer 1

分析 化簡可得（a₂+a₁）（q²-1）=5，從而可得q＞1，a₂+a₁=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$，從而化簡a₅+a₆=$\frac{5}{-（\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，從而求最小值．

解答 解：∵S₂是S₄與-5的等差中項，
∴S₄-5=2S₂，
∴a₄+a₃-（a₂+a₁）=5，
∴（a₂+a₁）（q²-1）=5，
∴q＞1，a₂+a₁=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$，
故a₅+a₆=（a₂+a₁）q⁴
=$\frac{5}{{q}^{2}-1}$q⁴=$\frac{5}{\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{{q}^{4}}}$
=$\frac{5}{-（\frac{1}{{q}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，
故當(dāng)q=$\sqrt{2}$時，有最小值為$\frac{5}{\frac{1}{4}}$=20，
故選：D．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了配方法的應(yīng)用．