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18.已知函數(shù)f(x)=ax2-bx+lnx,(a,b∈R).
(1)若a=1,b=3,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若b=0時,不等式f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當a=1,b>92時,記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的兩個零點是x1,x2(x1<x2),求證:f(x1)-f(x2)>6316-3ln2.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為a≤-lnxx2在區(qū)間[1,+∞)恒成立,令h(x)=-lnxx2,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;
(3)由題意得x1,x2(x1<x2)是方程2x2-bx+1=0的兩個根,記g(x)=2x2-bx+1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

解答 解:(1)由題意得:x>0,a=1,b=3時,f(x)=x2-3x+lnx,
f′(x)=2x-3+1x=2x1x1x,
令f′(x)>0,解得:0<x<12或x>1,
故f(x)在(0,12),(1,+∞)遞增;
(2)b=0時,f(x)=ax2+lnx,
不等式f(x)≤0在[1,+∞)恒成立,
即a≤-lnxx2在區(qū)間[1,+∞)恒成立,
令h(x)=-lnxx2,則h′(x)=-2lnx1x3
令h′(x)>0,解得:x>e
令h′(x)<0,解得:1<x<e,
故f(x)在(1,e)遞減,在(e,+∞)遞增,
故h(x)min=h(e)=-12e,
故a≤-12e;
(3)證明:a=1時,f(x)=x2-bx+lnx,f′(x)=2x2bx+1x,(x>0),
由題意得x1,x2(x1<x2)是方程2x2-bx+1=0的兩個根,
記g(x)=2x2-bx+1,則g(1)=22>0,
∵b>92,∴g(14)=1492-b)<0,g(2)=9-2b<0,
∴x1∈(1,14),x2∈(2,+∞),且f(x)在[x1,x2]遞減,
故f(x1)-f(x2)>f(14)-f(2)=7b4-6316-3ln2,
∵b>92,∴f(x1)-f(x2)>7492-6316-3ln2=6316-3ln2.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,考查轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

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