Question

20．已知函數(shù)f（x）=x+e^x-a，g（x）=ln$\sqrt{2x+1}$-4e^a-x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）-g（x₀）=4成立，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A． ln2-1
• B． 1-ln2
• C． ln2
• D． -ln2

Answer 1

分析 求出f（x）-g（x）的解析式，令h（x）=x-$\frac{1}{2}$ln（2x+1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，結(jié)合不等式的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的a的值即可．

解答 解：由函數(shù)f（x）=x+e^x-a，g（x）=ln$\sqrt{2x+1}$-4e^a-x，
得f（x）-g（x）=x-$\frac{1}{2}$ln（2x+1）+e^x-a+4e^a-x．
令h（x）=x-$\frac{1}{2}$ln（2x+1），則h′（x）=1-$\frac{1}{2x+1}$，
知h（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（0）=0．
又e^x-a+4e^a-x≥2 $\sqrt{{e}^{x-a}•4{e}^{a-x}}$=4，
∴f（x）-g（x）≥4．
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{{e}^{x-a}=4{e}^{a-x}}\end{array}\right.$，即x=0，a=-ln2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的性質(zhì)，是中檔題．