Question

8．已知函數(shù)f（x）=-log₃（9x）•log₃$\frac{x}{3}$（$\frac{1}{9}$≤x≤27）．
（1）設(shè)t=log₃x，求t的取值范圍
（2）求f（x）的最小值，并指出f（x）取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=log₃x，由$\frac{1}{9}$≤x≤27，利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求t的取值范圍；
（2）由（1）知，y=-（t+2）（t-1），為開(kāi)口向下的拋物線，其對(duì)稱軸為t=-$\frac{1}{2}$，從而可求f（x）的最小值，及f（x）取得最小值時(shí)x的值．

解答 解：（1）f（x）=-log₃（9x）•log₃$\frac{x}{3}$=-（log₃x+2）•（log₃x-1），
∵t=log₃x，$\frac{1}{9}$≤x≤27，
∴t∈[-2，3]．
（2）y=-（t+2）（t-1），開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為t=-$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)t=3時(shí)取得最小值，y_min=-5×2=-10，此時(shí)x=27．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與換元法的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．