分析 數(shù)列{an}滿足a1=81,an=\left\{\begin{array}{l}-1+{log_3}{a_{n-1}},\;n=2k\\{3^{{a_{n-1}}}},n=2k+1\end{array}(k∈N*),可得n=2k(k∈N*)時(shí),a2k=-1+log3a2k-1;n=2k+1時(shí)a2k+1=3a2k.因此a2k+1=3−1+log3a2k−1=13a2k−1,a2k=-1+a2k-2.于是數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,公比為13;偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,公差為-1.分類討論求和,再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出.
解答 解:∵數(shù)列{an}滿足a1=81,an=\left\{\begin{array}{l}-1+{log_3}{a_{n-1}},\;n=2k\\{3^{{a_{n-1}}}},n=2k+1\end{array}(k∈N*),
∴n=2k(k∈N*)時(shí),a2k=-1+log3a2k-1,a2=3;n=2k+1時(shí)a2k+1=3a2k.
∴a2k+1=3−1+log3a2k−1=13a2k−1,a2k=-1+a2k-2.
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列,公比為13;偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列,公差為-1.
∴Sn=S2k=(a1+a3+…+a2k-1)+(a2+a4+…+a2k)
=81[1−(13)k]1−13+3k+k(k−1)2×(−1)
=2432[1−(13)k]-12(k−72)2+498≤126.(k=5時(shí)取等號(hào)).
Sn=S2k-1=S2k-2+a2k-1=2432[1−(13)k−1]-12(k−92)2+498+81×(13)k−1≤127,k=5時(shí)取等號(hào).
綜上可得:數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為127.
故答案為:127.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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A. | 若a⊥α,a⊥b,則b∥α | B. | 若a∥α,a⊥b,則b⊥α | C. | 若a⊥α,b⊆α,則a⊥b | D. | 若a∥α,b∥α,則a∥b |
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