Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|2x-1|．
（Ⅰ）當a=1時，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）求證：$f（x）≥|a-\frac{1}{2}|$．

Answer 1

分析 （I）分類討論，即可解不等式；
（II）利用絕對值不等式，即可證明．

解答 （Ⅰ）解：當a=1時，不等式f（x）≥2，即|x-1|+|2x-1|≥2．
x＜$\frac{1}{2}$時，不等式可化為1-x+1-2x≥2，解得x≤0，∴x≤0；
$\frac{1}{2}≤x≤1$時，不等式可化為1-x+2x-1≥2，解得x≥2，∴x無解；
x＞1時，不等式可化為x-1+2x-1≥2，解得x≥$\frac{4}{3}$，∴x≥$\frac{4}{3}$；
綜上所述，不等式的解集為（-∞，0]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）證明：f（x）=|x-a|+|2x-1|≥|a-x|+|x-$\frac{1}{2}$|≥|a-$\frac{1}{2}$|．

點評 本題考查不等式的解法與證明，考查分類討論的數(shù)學思想，考查絕對值不等式的運用，屬于中檔題．