Question

18．某一扇型的鐵皮，半徑長為1，圓心角為$\frac{π}{3}$，今想從中剪下一個矩形ABCD，如圖所示，設(shè)∠COP=α，試問當(dāng)α取何值時，矩形ABCD的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

分析 先用α把矩形的各邊長表示出來，進(jìn)而表示矩形的面積，化簡，利用α的范圍，集合三角函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：∵△OBC是直角三角形，
∴在Rt△OBC中，由OB=OC•cosα=cosα；BC=OC•sinα=sinα；
又∵△OAD是直角三角形，
在Rt△OAD中，
∵$\frac{AD}{OA}=tan60°=\sqrt{3}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}BC$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα；
又∵AB=OB-OA=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
所以：矩形ABCD的面積等于AB•BC：
令f（α）=AB•BC=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα）•sinα
化簡得：f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{3}sin（2α+\frac{π}{6}）-\frac{\sqrt{3}}{6}$
∵$0＜α＜\frac{π}{3}$
∴$\frac{π}{6}＜2α+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
當(dāng)$2α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（α）取得最大值，即矩形ABCD的面積最大，最大值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)在實際生活中的運用，解題的關(guān)鍵就是關(guān)鍵圖形建立三角模型，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解題．屬于中檔題．