Question

【題目】在如圖所示的多面體中，，且，四邊形為正方形，為等邊三角形，平面平面.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由，得，根據(jù)平面平面，得到平面.然后以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量的坐標(biāo)，代入線線角的向量公式求解.

（2）在（1）的坐標(biāo)系下，分別求得平面和平面的一個法向量為，代入面面角的向量公式求解.

分別取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以平面.

又因?yàn)?/span>，且，

所以，且，

則四邊形為平行四邊形，故，

所以平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題意可得，

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

則異面直線與所成角的余弦值為.

（2），

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，得.于是.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，得.

于是.

所以.

所以二面角的正弦值為.